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Esempio di calcolo esatto dell'energia di una batteria

Vediamo una batteria, l'etichetta riporta i V e gli Ah. Moltiplichiamo ed otteniamo i Wh: energia della batteria. E' proprio giusto?

Normalmente calcoliamo i Wh di una batteria in questo modo:

Energia = capacità x voltaggio

stiamo in realtà facendo una approssimazione, anche se buona. E' noto che il voltaggio di una cella, mentre essa si scarica, non è costante nel tempo ma varia. In particolare, durante la scarica, il voltaggio diminuisce:

scarica batteria tensione nominale

Vedi curve di scarica. Se per esempio la batteria ha una capacità di 3Ah (3000mAh) ed il voltaggio nominale è di 3.6V, ottengo una energia di:

3Ah x 3.6V = 10.8Wh

Questa è solo una stima, perchè ho utilizzato un valore medio del voltaggio (la tensione nominale è quella che viene usata). Quanto meno varia il voltaggio (curva piatta), tanto più l'approssimazione è precisa. Se il voltaggio fosse assolutamente costante, il calcolo sarebbe esatto.

Calcolo esatto dell'energia di una batteria

Un calcolo preciso prevede la conoscenza della funzione v=v(t), ossia la variazione di voltaggio nel tempo e la sua integrazione. Se scarico la batteria a corrente costante, come normalmente si fa per avere le curve di scarica di una batteria:

circuito di scarica batteria tensione nominale

Ottengo una curva di scarica che mostra l'andamento del voltaggio durante la scarica della batteria:

curva di scarica volt ampereora

Questa è una tipica curva di scarica, normalmente plottata a partire dal voltaggio di cut-off. Per eseguire un calcolo, consideriamo una curva di scarica semplice, ovvero una esponenziale:

curva di scarica volt ampereora

Immaginiamo di usare una funzione v=v(Ah) esponenziale come quella scritta nel grafico e ricordiamo che la corrente di scarica è costante e pari a 3A (1C). Integrando la funzione v su range di variazione di Ah (tra 0 e 3Ah), si ottiene l'area sottesa dalla curva v(Ah). Ebbene quest'area, esprimibile dimensionalmente in WxAh, è proprio l'energia totale fornita dalla batteria:

curva di scarica volt ampereora

Si tratta di calcolare l'area indicata nella figura:

curva di scarica volt ampereora



Le curve di scarica partono sempre, per comodità, dal valore del cut-off voltage, per es 3V, bisogna invece ricordare, quando si effettua l'integrazione, che le ordinate (asse dei volt) partono da 0 e dunque l'area ottenuta è quella sottesa dalla curva...fino a zero volt.



Effettuando il calcolo, si ottiene un valore dell'energia pari a 11.04[Wh]:

curva di scarica volt ampereora

Di quanto differisce questo valore esatto dalla nostra approssimazione?

Pochissimo, in questo caso, abbiamo 11.04Wh teorici, contro il valore 10.8Wh ottenuto dal calcolo rapido (approssimato). Fare il calcolo approssimato, vuol dire in realtà valutare l'area nominale visibile nella figura sotto:

curva di scarica area tensione nominale

L'area nominale rappresenta un valore medio, come si vede ha due aree esponenziali, una da sottrarre, una da sommare, rispetto all'area esatta calcolata sopra. L'area nominale corrisponde ad una variazione lineare della funzione v(t). Se infatti assumiamo v come lineare, prendiamo cioè l'equazione di una retta visibile in figura:

curva di scarica area tensione lineare

Notiamo proprio che l'area sottesa dalla retta, sempre nello stesso intervallo di tensioni e capacità, corrisponde proprio a 10.8Wh, ovvero il valore ottenibile dalla media aritmetica del voltaggio max e min.

In questo specifico caso abbiamo ottenuto un valore approssimato del calcolo dell'energia, leggermente sottostimato rispetto al valore teorico. E' ovvio che ciò dipende dalla funzione v(t) e che potrebbe anche essere il contrario:

curva di scarica area tensione lineare

ovvero potrei trovare un valore approssimato, leggermente sovrastimato: area sottesa dalla retta blu è superiore all'area sottesa dalla curva verde.

Il calcolo visto è puramente teorico perchè normalmente non si conosce la curva v(t) ma la si determina sperimentalmente. Esistono comunque dei modelli, con funzioni esponenziali a molti coefficienti, che scimmiottano il comportamento della curva reale con ottima approssimazione.

Calcolo dell'energia dalla funzione di potenza

Conoscendo la funzione v(t):

curva di scarica area tensione lineare

Conoscendo la corrente, costante durante le condizioni di scarica:

curva di scarica area tensione lineare

E ricordando che la potenza istantanea è il prodotto, punto per punto, di tensione e corrente:

p(t) = v(t) x i(t)

Essendo la corrente non dipendente dal tempo, possiamo immediatamente calcolare la funzione potenza come prodotto delle due funzioni:

curva di scarica area tensione lineare

Integrando p(t) sull intervallo di tempo 0-1h, necessario a scaricare la batteria, otteniamo l'energia della batteria:

curva di scarica area tensione lineare

ottenendo sempre l'energia di 11.04Wh. In alternativa si può integrare la funzione v(t) e poi moltiplicarla per la corrente, che è costante e può uscire dal segno di integrazione.

Letto 4840 volte Ultima modifica il Lunedì, 25 Luglio 2016 18:38
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